Thoại Viết Hoàng✔
Writer
Có những thiên tài được đào tạo trong những trường đại học tốt nhất, được dẫn dắt bởi những giáo sư hàng đầu và dành cả đời để giải quyết những bài toán khó. Srinivasa Ramanujan (1887–1920) gần như là trường hợp ngược lại. Ông không có bằng đại học, phần lớn những năm tháng quan trọng nhất của tuổi trẻ tự học toán từ một cuốn sách cũ, nhiều kết quả ông viết ra không có chứng minh hoàn chỉnh, nhưng những gì ông tìm thấy đã khiến các nhà toán học hàng đầu châu Âu phải kinh ngạc. MacTutor History of Mathematics của Đại học St Andrews gọi ông là một trong những thiên tài toán học vĩ đại nhất của Ấn Độ.
Một cậu bé chỉ muốn làm toán
Srinivasa Aiyangar Ramanujan sinh ngày 22/12/1887 tại Erode, miền nam Ấn Độ, và lớn lên chủ yếu ở Kumbakonam. Cha ông là một nhân viên ghi sổ cho một cửa hàng vải. Từ nhỏ, Ramanujan đã thể hiện khả năng học tập nổi bật. Nhưng đến khoảng năm 1900, khi mới 12 tuổi, ông bắt đầu tự nghiên cứu toán học ngoài chương trình nhà trường. Năm 1902, ông học cách giải phương trình bậc ba rồi tự tìm ra phương pháp giải phương trình bậc bốn. Ông thậm chí từng cố giải phương trình bậc năm mà không biết rằng loại phương trình tổng quát này không thể giải bằng căn thức.
Bước ngoặt đến khi Ramanujan tìm được cuốn Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics của G. S. Carr. Cuốn sách xuất bản năm 1886, tập hợp hàng nghìn định lý, công thức và những chứng minh cực kỳ ngắn. Với Ramanujan, nó gần như trở thành một trường đại học thu nhỏ. Ông tự học từ đó và bắt đầu đi sâu vào những lĩnh vực mà bản thân chưa được đào tạo bài bản. Nhưng chính cuốn sách này cũng để lại một ảnh hưởng rất đặc biệt: nó trở thành gần như mô hình duy nhất mà Ramanujan biết về cách viết toán học. Vì vậy, về sau ông thường ghi lại kết quả mà không trình bày đầy đủ quá trình chứng minh.
Năm 1904, ông đã bắt đầu thực hiện những nghiên cứu sâu, tính hằng số Euler tới 15 chữ số thập phân và nghiên cứu các số Bernoulli. Nhưng con đường học thuật chính thống của ông nhanh chóng đổ vỡ. Ông được cấp học bổng vào Government College ở Kumbakonam, nhưng học bổng bị cắt vì ông dành quá nhiều thời gian cho toán học và bỏ bê các môn khác. Sau đó ông vào Pachaiyappa's College ở Madras, nhưng lại thất bại trong kỳ thi First Arts vì chỉ vượt qua môn toán và trượt các môn còn lại. Ông không thể vào đại học.
Điều đáng kinh ngạc là thất bại ấy không khiến ông từ bỏ toán học. Ngược lại, ông tiếp tục nghiên cứu một mình, phát triển những ý tưởng riêng về phân số liên tục, chuỗi phân kỳ, chuỗi siêu hình học, hàm elliptic và nhiều vấn đề khác. Ông làm toán gần như bên ngoài hệ thống toán học hàn lâm đương thời.
Năm 1909, mẹ Ramanujan sắp xếp cho ông kết hôn với S. Janaki Ammal. Khi đó Janaki mới 10 tuổi. Hai người không sống chung ngay sau lễ cưới; theo MacTutor, Ramanujan chỉ bắt đầu sống cùng vợ khi Janaki khoảng 12 tuổi. Đây là một chi tiết quan trọng để hiểu bối cảnh xã hội Ấn Độ đầu thế kỷ XX, thay vì nhìn cuộc hôn nhân này hoàn toàn theo chuẩn mực của ngày nay.
Nguồn MacTutor không cung cấp nhiều tư liệu để dựng nên một câu chuyện tình yêu theo nghĩa hiện đại. Phần lớn cuộc đời trưởng thành của Ramanujan được ghi lại qua toán học, thư từ, công việc và tình trạng sức khỏe. Điều nổi bật hơn cả trong đời sống cá nhân của ông là sự gắn bó gần như tuyệt đối với toán học.
Bức thư làm thay đổi số phận
Đến năm 1911, Ramanujan đã bắt đầu được giới toán học tại Madras chú ý. Ông có công bố đầu tiên về các số Bernoulli trên Journal of the Indian Mathematical Society và được nhận vào làm thư ký tại Madras Port Trust vào năm 1912. Đây là một công việc hành chính, nhưng những người xung quanh nhanh chóng nhận ra rằng chàng trai không có bằng đại học này sở hữu năng lực toán học đặc biệt.
Năm 1913, Ramanujan gửi thư cho nhà toán học Anh G. H. Hardy. Trong thư, ông giới thiệu mình là người không được đào tạo đại học nhưng đã tự nghiên cứu toán học và đang đi theo "một con đường mới" của riêng mình. Kèm theo thư là một danh sách dài những định lý và công thức, phần lớn không có chứng minh.
Hardy cùng J. E. Littlewood xem xét những kết quả ấy. Hardy nhận ra rằng chúng không phải sản phẩm của một người nghiệp dư thông thường. Ông phân loại chúng thành những kết quả đã biết, những kết quả mới nhưng chủ yếu thú vị về mặt kỹ thuật, và một nhóm khác "có vẻ mới và quan trọng". Chính nhận định đó đã mở cánh cửa Cambridge cho Ramanujan.
Năm 1914, Hardy đưa Ramanujan sang Cambridge. Đây là lần đầu tiên thiên tài tự học ấy bước vào môi trường toán học hiện đại mà ông gần như không được đào tạo trước đó.
Hardy sau này mô tả nghịch lý của Ramanujan rất rõ: kiến thức của ông có những giới hạn đáng kinh ngạc, nhưng độ sâu của những gì ông biết cũng đáng kinh ngạc không kém. Littlewood từng được giao nhiệm vụ giúp Ramanujan bổ sung kiến thức toán học hiện đại, nhưng công việc trở nên rất khó khăn: mỗi khi người ta cố giải thích một khái niệm mà Ramanujan chưa biết, ông lại lập tức đưa ra một loạt ý tưởng nguyên bản khiến bài học ban đầu bị bỏ sang một bên.
Vì sao ông có thể giỏi đến vậy?
Không có bằng chứng khoa học nào cho phép kết luận rằng Ramanujan giỏi toán vì một nguyên nhân duy nhất. Nhưng cuộc đời ông cho thấy một sự kết hợp cực kỳ hiếm giữa năng lực trực giác, khả năng tính toán, sức tập trung và khả năng tự học.
MacTutor ghi nhận rằng ông có năng khiếu tự nhiên đặc biệt với các con số. Khi còn rất trẻ, ông đã tự mình nghiên cứu những lĩnh vực toán học vượt xa chương trình phổ thông. Ông cũng có khả năng nhận ra những mối quan hệ mà người khác chưa nhìn thấy. Đặc biệt, ông thường đi thẳng tới kết quả mà không trình bày được đầy đủ con đường logic dẫn tới nó.
Điều này khiến Ramanujan vừa vĩ đại vừa khó hiểu. Ông không phải một nhà toán học "không bao giờ sai". MacTutor ghi rõ rằng một số định lý của ông về số nguyên tố hoàn toàn sai. Nhưng bên cạnh đó là một khối lượng khổng lồ những kết quả đúng, sâu sắc và đôi khi chỉ được chứng minh nhiều năm sau khi ông qua đời.
Một ví dụ nổi tiếng là nghiên cứu về số phân hoạch. Nếu một số nguyên được biểu diễn thành tổng của các số nguyên dương theo những cách khác nhau, số lượng cách biểu diễn đó được ký hiệu là p
. Ramanujan phát hiện những tính chất đáng kinh ngạc của p. Trong công trình cùng Hardy, ông đưa ra một công thức tiệm cận cho p, và điều đáng chú ý là công thức này cho kết quả chính xác đến mức đáng kinh ngạc. Sau đó, Hans Rademacher đã chứng minh kết quả này.
Đó chính là một phần lý do hình ảnh Ramanujan trở nên huyền thoại: ông nhiều lần nhìn thấy kết quả trước khi toán học có thể giải thích đầy đủ tại sao kết quả đó đúng.
Những năm cuối đời
Cambridge mở ra cho Ramanujan một giai đoạn nghiên cứu đặc biệt năng suất. Ông làm việc với Hardy về lý thuyết số giải tích và nhiều chủ đề khác. Năm 1916, ông nhận bằng Bachelor of Arts by Research tại Cambridge với luận văn về Highly Composite Numbers. Năm 1918, ông được bầu làm Fellow của Royal Society, một trong những vinh dự khoa học lớn nhất nước Anh, và sau đó trở thành Fellow của Trinity College Cambridge.
Nhưng cơ thể ông không theo kịp trí óc. Ramanujan mắc bệnh nặng trong thời gian ở Anh, phải điều trị tại nhiều cơ sở y tế. Các bác sĩ từng đưa ra những chẩn đoán khác nhau, trong đó có lao phổi và những vấn đề nghiêm trọng khác. Sau khi sức khỏe có phần cải thiện, ông trở về Ấn Độ vào tháng 3/1919. Chỉ hơn một năm sau, ngày 26/04/1920, Ramanujan qua đời tại Kumbakonam. Ông mới 32 tuổi.
Nhưng câu chuyện toán học của ông không kết thúc ở đó. Ramanujan để lại những cuốn sổ chứa đầy các định lý và công thức chưa được xuất bản. Sau khi ông qua đời, các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu chúng. G. N. Watson đã công bố hàng loạt công trình lấy cảm hứng từ những kết quả của Ramanujan. MacTutor ghi nhận rằng những bản thảo này tiếp tục tạo ra ảnh hưởng lâu dài đối với toán học.
Thiên tài không phải vì ông biết mọi thứ
Có lẽ điều hấp dẫn nhất về Ramanujan không nằm ở việc ông "biết nhiều toán" hơn người khác. Trái lại, Hardy từng nhận xét rằng những giới hạn trong kiến thức của Ramanujan cũng đáng kinh ngạc không kém chiều sâu của nó. Ông thiếu nhiều kiến thức toán học hiện đại mà một nhà toán học chuyên nghiệp lúc đó được kỳ vọng phải biết. Nhưng trong một số lĩnh vực, ông lại đi sâu đến mức khiến những nhà toán học được đào tạo bài bản phải kinh ngạc.
Ramanujan vì thế là một nghịch lý của lịch sử khoa học. Ông không đi qua con đường thông thường để trở thành nhà toán học. Ông từng trượt đại học, từng không có việc làm ổn định, từng phải xin sự giúp đỡ để có điều kiện tiếp tục nghiên cứu. Nhưng chính quá trình tự học gần như hoàn toàn độc lập ấy lại cho phép ông phát triển một cách nhìn toán học rất riêng.
Hardy sau này coi việc nhận ra Ramanujan là một trong những sự kiện đặc biệt nhất đời mình. MacTutor dẫn lại lời Hardy rằng ông xem Ramanujan là một "kho báu" và nhấn mạnh rằng thành công không làm thay đổi sự giản dị và khiêm nhường của ông.
Ramanujan qua đời khi mới 32 tuổi, nhưng những cuốn sổ ông để lại đã khiến các thế hệ toán học sau đó tiếp tục đặt câu hỏi: một con người có thể nhìn thấy những cấu trúc toán học sâu đến mức nào chỉ bằng trực giác và khả năng tự học?
Có lẽ đó mới là điều khiến Ramanujan trở thành một trong những nhân vật kỳ lạ nhất lịch sử toán học: không phải vì ông luôn đúng, cũng không phải vì ông biết tất cả, mà vì ông nhiều lần đi tới một nơi mà toán học đương thời chưa biết cách đi tới, rồi để những người khác mất nhiều năm tìm đường theo sau.
Một cậu bé chỉ muốn làm toán
Srinivasa Aiyangar Ramanujan sinh ngày 22/12/1887 tại Erode, miền nam Ấn Độ, và lớn lên chủ yếu ở Kumbakonam. Cha ông là một nhân viên ghi sổ cho một cửa hàng vải. Từ nhỏ, Ramanujan đã thể hiện khả năng học tập nổi bật. Nhưng đến khoảng năm 1900, khi mới 12 tuổi, ông bắt đầu tự nghiên cứu toán học ngoài chương trình nhà trường. Năm 1902, ông học cách giải phương trình bậc ba rồi tự tìm ra phương pháp giải phương trình bậc bốn. Ông thậm chí từng cố giải phương trình bậc năm mà không biết rằng loại phương trình tổng quát này không thể giải bằng căn thức.
Bước ngoặt đến khi Ramanujan tìm được cuốn Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics của G. S. Carr. Cuốn sách xuất bản năm 1886, tập hợp hàng nghìn định lý, công thức và những chứng minh cực kỳ ngắn. Với Ramanujan, nó gần như trở thành một trường đại học thu nhỏ. Ông tự học từ đó và bắt đầu đi sâu vào những lĩnh vực mà bản thân chưa được đào tạo bài bản. Nhưng chính cuốn sách này cũng để lại một ảnh hưởng rất đặc biệt: nó trở thành gần như mô hình duy nhất mà Ramanujan biết về cách viết toán học. Vì vậy, về sau ông thường ghi lại kết quả mà không trình bày đầy đủ quá trình chứng minh.
Năm 1904, ông đã bắt đầu thực hiện những nghiên cứu sâu, tính hằng số Euler tới 15 chữ số thập phân và nghiên cứu các số Bernoulli. Nhưng con đường học thuật chính thống của ông nhanh chóng đổ vỡ. Ông được cấp học bổng vào Government College ở Kumbakonam, nhưng học bổng bị cắt vì ông dành quá nhiều thời gian cho toán học và bỏ bê các môn khác. Sau đó ông vào Pachaiyappa's College ở Madras, nhưng lại thất bại trong kỳ thi First Arts vì chỉ vượt qua môn toán và trượt các môn còn lại. Ông không thể vào đại học.
Điều đáng kinh ngạc là thất bại ấy không khiến ông từ bỏ toán học. Ngược lại, ông tiếp tục nghiên cứu một mình, phát triển những ý tưởng riêng về phân số liên tục, chuỗi phân kỳ, chuỗi siêu hình học, hàm elliptic và nhiều vấn đề khác. Ông làm toán gần như bên ngoài hệ thống toán học hàn lâm đương thời.
Năm 1909, mẹ Ramanujan sắp xếp cho ông kết hôn với S. Janaki Ammal. Khi đó Janaki mới 10 tuổi. Hai người không sống chung ngay sau lễ cưới; theo MacTutor, Ramanujan chỉ bắt đầu sống cùng vợ khi Janaki khoảng 12 tuổi. Đây là một chi tiết quan trọng để hiểu bối cảnh xã hội Ấn Độ đầu thế kỷ XX, thay vì nhìn cuộc hôn nhân này hoàn toàn theo chuẩn mực của ngày nay.
Nguồn MacTutor không cung cấp nhiều tư liệu để dựng nên một câu chuyện tình yêu theo nghĩa hiện đại. Phần lớn cuộc đời trưởng thành của Ramanujan được ghi lại qua toán học, thư từ, công việc và tình trạng sức khỏe. Điều nổi bật hơn cả trong đời sống cá nhân của ông là sự gắn bó gần như tuyệt đối với toán học.
Bức thư làm thay đổi số phận
Đến năm 1911, Ramanujan đã bắt đầu được giới toán học tại Madras chú ý. Ông có công bố đầu tiên về các số Bernoulli trên Journal of the Indian Mathematical Society và được nhận vào làm thư ký tại Madras Port Trust vào năm 1912. Đây là một công việc hành chính, nhưng những người xung quanh nhanh chóng nhận ra rằng chàng trai không có bằng đại học này sở hữu năng lực toán học đặc biệt.
Năm 1913, Ramanujan gửi thư cho nhà toán học Anh G. H. Hardy. Trong thư, ông giới thiệu mình là người không được đào tạo đại học nhưng đã tự nghiên cứu toán học và đang đi theo "một con đường mới" của riêng mình. Kèm theo thư là một danh sách dài những định lý và công thức, phần lớn không có chứng minh.
Hardy cùng J. E. Littlewood xem xét những kết quả ấy. Hardy nhận ra rằng chúng không phải sản phẩm của một người nghiệp dư thông thường. Ông phân loại chúng thành những kết quả đã biết, những kết quả mới nhưng chủ yếu thú vị về mặt kỹ thuật, và một nhóm khác "có vẻ mới và quan trọng". Chính nhận định đó đã mở cánh cửa Cambridge cho Ramanujan.
Năm 1914, Hardy đưa Ramanujan sang Cambridge. Đây là lần đầu tiên thiên tài tự học ấy bước vào môi trường toán học hiện đại mà ông gần như không được đào tạo trước đó.
Hardy sau này mô tả nghịch lý của Ramanujan rất rõ: kiến thức của ông có những giới hạn đáng kinh ngạc, nhưng độ sâu của những gì ông biết cũng đáng kinh ngạc không kém. Littlewood từng được giao nhiệm vụ giúp Ramanujan bổ sung kiến thức toán học hiện đại, nhưng công việc trở nên rất khó khăn: mỗi khi người ta cố giải thích một khái niệm mà Ramanujan chưa biết, ông lại lập tức đưa ra một loạt ý tưởng nguyên bản khiến bài học ban đầu bị bỏ sang một bên.
Vì sao ông có thể giỏi đến vậy?
Không có bằng chứng khoa học nào cho phép kết luận rằng Ramanujan giỏi toán vì một nguyên nhân duy nhất. Nhưng cuộc đời ông cho thấy một sự kết hợp cực kỳ hiếm giữa năng lực trực giác, khả năng tính toán, sức tập trung và khả năng tự học.
MacTutor ghi nhận rằng ông có năng khiếu tự nhiên đặc biệt với các con số. Khi còn rất trẻ, ông đã tự mình nghiên cứu những lĩnh vực toán học vượt xa chương trình phổ thông. Ông cũng có khả năng nhận ra những mối quan hệ mà người khác chưa nhìn thấy. Đặc biệt, ông thường đi thẳng tới kết quả mà không trình bày được đầy đủ con đường logic dẫn tới nó.
Điều này khiến Ramanujan vừa vĩ đại vừa khó hiểu. Ông không phải một nhà toán học "không bao giờ sai". MacTutor ghi rõ rằng một số định lý của ông về số nguyên tố hoàn toàn sai. Nhưng bên cạnh đó là một khối lượng khổng lồ những kết quả đúng, sâu sắc và đôi khi chỉ được chứng minh nhiều năm sau khi ông qua đời.
Một ví dụ nổi tiếng là nghiên cứu về số phân hoạch. Nếu một số nguyên được biểu diễn thành tổng của các số nguyên dương theo những cách khác nhau, số lượng cách biểu diễn đó được ký hiệu là p
. Ramanujan phát hiện những tính chất đáng kinh ngạc của p. Trong công trình cùng Hardy, ông đưa ra một công thức tiệm cận cho p, và điều đáng chú ý là công thức này cho kết quả chính xác đến mức đáng kinh ngạc. Sau đó, Hans Rademacher đã chứng minh kết quả này.Đó chính là một phần lý do hình ảnh Ramanujan trở nên huyền thoại: ông nhiều lần nhìn thấy kết quả trước khi toán học có thể giải thích đầy đủ tại sao kết quả đó đúng.
Những năm cuối đời
Cambridge mở ra cho Ramanujan một giai đoạn nghiên cứu đặc biệt năng suất. Ông làm việc với Hardy về lý thuyết số giải tích và nhiều chủ đề khác. Năm 1916, ông nhận bằng Bachelor of Arts by Research tại Cambridge với luận văn về Highly Composite Numbers. Năm 1918, ông được bầu làm Fellow của Royal Society, một trong những vinh dự khoa học lớn nhất nước Anh, và sau đó trở thành Fellow của Trinity College Cambridge.
Nhưng cơ thể ông không theo kịp trí óc. Ramanujan mắc bệnh nặng trong thời gian ở Anh, phải điều trị tại nhiều cơ sở y tế. Các bác sĩ từng đưa ra những chẩn đoán khác nhau, trong đó có lao phổi và những vấn đề nghiêm trọng khác. Sau khi sức khỏe có phần cải thiện, ông trở về Ấn Độ vào tháng 3/1919. Chỉ hơn một năm sau, ngày 26/04/1920, Ramanujan qua đời tại Kumbakonam. Ông mới 32 tuổi.
Nhưng câu chuyện toán học của ông không kết thúc ở đó. Ramanujan để lại những cuốn sổ chứa đầy các định lý và công thức chưa được xuất bản. Sau khi ông qua đời, các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu chúng. G. N. Watson đã công bố hàng loạt công trình lấy cảm hứng từ những kết quả của Ramanujan. MacTutor ghi nhận rằng những bản thảo này tiếp tục tạo ra ảnh hưởng lâu dài đối với toán học.
Thiên tài không phải vì ông biết mọi thứ
Có lẽ điều hấp dẫn nhất về Ramanujan không nằm ở việc ông "biết nhiều toán" hơn người khác. Trái lại, Hardy từng nhận xét rằng những giới hạn trong kiến thức của Ramanujan cũng đáng kinh ngạc không kém chiều sâu của nó. Ông thiếu nhiều kiến thức toán học hiện đại mà một nhà toán học chuyên nghiệp lúc đó được kỳ vọng phải biết. Nhưng trong một số lĩnh vực, ông lại đi sâu đến mức khiến những nhà toán học được đào tạo bài bản phải kinh ngạc.
Ramanujan vì thế là một nghịch lý của lịch sử khoa học. Ông không đi qua con đường thông thường để trở thành nhà toán học. Ông từng trượt đại học, từng không có việc làm ổn định, từng phải xin sự giúp đỡ để có điều kiện tiếp tục nghiên cứu. Nhưng chính quá trình tự học gần như hoàn toàn độc lập ấy lại cho phép ông phát triển một cách nhìn toán học rất riêng.
Hardy sau này coi việc nhận ra Ramanujan là một trong những sự kiện đặc biệt nhất đời mình. MacTutor dẫn lại lời Hardy rằng ông xem Ramanujan là một "kho báu" và nhấn mạnh rằng thành công không làm thay đổi sự giản dị và khiêm nhường của ông.
Ramanujan qua đời khi mới 32 tuổi, nhưng những cuốn sổ ông để lại đã khiến các thế hệ toán học sau đó tiếp tục đặt câu hỏi: một con người có thể nhìn thấy những cấu trúc toán học sâu đến mức nào chỉ bằng trực giác và khả năng tự học?
Có lẽ đó mới là điều khiến Ramanujan trở thành một trong những nhân vật kỳ lạ nhất lịch sử toán học: không phải vì ông luôn đúng, cũng không phải vì ông biết tất cả, mà vì ông nhiều lần đi tới một nơi mà toán học đương thời chưa biết cách đi tới, rồi để những người khác mất nhiều năm tìm đường theo sau.
