Hoàng Khang
Writer
Một nhà toán học tại Đại học New South Wales Sydney đã giới thiệu một phương pháp tiếp cận đột phá mới, sử dụng các chuỗi số đặc biệt và hình học tổ hợp, để giải quyết một trong những vấn đề nan giải lâu đời nhất của đại số.
Lời giải cho một thách thức hàng thế kỷ
Một trong những bài toán hóc búa nhất của đại số - làm thế nào để giải các phương trình đa thức bậc cao – có thể sắp có lời giải. Một khám phá đột phá từ một nhà toán học tại Đại học New South Wales (UNSW) Sydney, Úc, hứa hẹn sẽ mở ra một chương mới cho lĩnh vực này.
Phương trình đa thức, với biến số (như x) được nâng lên nhiều lũy thừa khác nhau (ví dụ: 1 + 4x – 3x² = 0), không chỉ là những bài tập trong sách giáo khoa. Chúng là công cụ thiết yếu trong vô số ứng dụng thực tế, từ dự đoán chuyển động của các hành tinh đến việc lập trình phần mềm.
Tuy nhiên, đối với các phương trình đa thức "bậc cao hơn", nơi x được nâng lên lũy thừa từ 5 trở lên (phương trình bậc năm, hay quintic, và cao hơn), các nhà toán học đã vật lộn trong nhiều thế kỷ để tìm ra một phương pháp giải tổng quát. Điều đó có thể sắp thay đổi nhờ vào bước tiến mới đầy thú vị này.
Giáo sư Danh dự Norman Wildberger của UNSW, cùng với nhà khoa học máy tính Tiến sĩ Dean Rubine, đã công bố một phương pháp tiếp cận mới sử dụng các chuỗi số độc đáo trong một bài báo khoa học gần đây. "Giải pháp của chúng tôi mở lại một cuốn sách tưởng chừng đã khép lại trong lịch sử toán học," Giáo sư Wildberger khẳng định.
Vấn đề nan giải của phương trình đa thức
Các lời giải cho phương trình đa thức bậc hai (phương trình bậc 2) đã tồn tại từ khoảng năm 1800 trước Công nguyên, nhờ vào "phương pháp hoàn thành bình phương" của người Babylon, sau này phát triển thành công thức nghiệm bậc hai quen thuộc với nhiều học sinh trung học. Phương pháp này, sử dụng căn bậc của các số gọi là "căn thức" (radicals), sau đó được mở rộng để giải các phương trình bậc ba và bậc bốn vào thế kỷ 16.
Tuy nhiên, vào năm 1832, nhà toán học người Pháp Évariste Galois đã chứng minh rằng tính đối xứng toán học đằng sau các phương pháp được sử dụng để giải các đa thức bậc thấp hơn trở nên bất khả thi đối với các đa thức bậc năm trở lên. Do đó, ông kết luận rằng không thể có một công thức tổng quát nào sử dụng căn thức để giải chúng. Kể từ đó, các giải pháp gần đúng cho phương trình đa thức bậc cao đã được phát triển và được sử dụng rộng rãi, nhưng theo Giáo sư Wildberger, chúng không thuộc về đại số thuần túy.
Từ chối căn thức, mở ra hướng đi mới
Vấn đề, theo Giáo sư Wildberger, nằm ở việc công thức cổ điển sử dụng căn bậc ba hoặc căn bậc bốn, tức là các căn thức. Các căn thức thường biểu thị các số vô tỷ - những số thập phân kéo dài vô tận mà không lặp lại và không thể viết dưới dạng phân số đơn giản (ví dụ, căn bậc ba của 7, 3√7 = 1.9129118…… kéo dài mãi mãi).
Giáo sư Wildberger cho rằng điều này có nghĩa là câu trả lời thực sự không bao giờ có thể được tính toán một cách hoàn chỉnh bởi "bạn sẽ cần một lượng công việc vô hạn và một ổ cứng lớn hơn cả vũ trụ." Vì vậy, khi chúng ta giả định căn bậc ba của 7 "tồn tại" trong một công thức, chúng ta đang giả định rằng số thập phân vô hạn, không bao giờ kết thúc này bằng cách nào đó là một đối tượng hoàn chỉnh. Đây là lý do tại sao, Giáo sư Wildberger nói, ông "không tin vào các số vô tỷ". Ông cho rằng số vô tỷ dựa trên một khái niệm không chính xác về vô hạn và dẫn đến các vấn đề logic trong toán học.
Sự từ chối căn thức này đã truyền cảm hứng cho những đóng góp nổi tiếng nhất của Giáo sư Wildberger cho toán học: lượng giác hữu tỷ và hình học hypebol phổ quát. Cả hai phương pháp này đều dựa trên các hàm toán học như bình phương, cộng hoặc nhân, thay vì các số vô tỷ, căn thức hoặc các hàm như sin và cosin.
Phương pháp mới của ông để giải đa thức cũng tránh các căn thức và số vô tỷ, thay vào đó dựa vào các mở rộng đặc biệt của đa thức được gọi là "chuỗi lũy thừa" (power series), có thể có vô số số hạng với các lũy thừa của x. Bằng cách cắt ngắn các chuỗi lũy thừa này, Giáo sư Wildberger cho biết, họ đã có thể trích xuất các câu trả lời số gần đúng để kiểm tra xem phương pháp có hoạt động hay không. "Một trong những phương trình chúng tôi đã thử nghiệm là một phương trình bậc ba nổi tiếng được Wallis sử dụng vào thế kỷ 17 để minh họa phương pháp của Newton. Giải pháp của chúng tôi hoạt động tuyệt vời," ông nói.
Hình học mới cho một giải pháp tổng quát: "Geode" và số Catalan mở rộng
Tuy nhiên, Giáo sư Wildberger cho biết bằng chứng cho phương pháp này cuối cùng lại dựa trên logic toán học. Phương pháp của ông sử dụng các chuỗi số mới lạ biểu thị các mối quan hệ hình học phức tạp. Những chuỗi này thuộc về toán học tổ hợp (combinatorics), một nhánh của toán học giải quyết các mẫu số trong các tập hợp phần tử.
Chuỗi tổ hợp nổi tiếng nhất, được gọi là số Catalan, mô tả số cách bạn có thể chia một đa giác (bất kỳ hình nào có ba cạnh trở lên) thành các tam giác. Các số này có các ứng dụng thực tế quan trọng, bao gồm trong các thuật toán máy tính, thiết kế cấu trúc dữ liệu và lý thuyết trò chơi. Chúng thậm chí còn xuất hiện trong sinh học, nơi chúng được sử dụng để giúp đếm các kiểu gấp có thể có của phân tử RNA. Và chúng có thể được tính toán bằng một đa thức bậc hai đơn giản.
"Số Catalan được hiểu là có mối liên hệ mật thiết với phương trình bậc hai. Sự đổi mới của chúng tôi nằm ở ý tưởng rằng nếu chúng ta muốn giải các phương trình bậc cao hơn, chúng ta nên tìm kiếm các dạng tương tự bậc cao hơn của số Catalan."
Công trình của Giáo sư Wildberger mở rộng các số Catalan này từ một mảng một chiều thành một mảng đa chiều dựa trên số cách một đa giác có thể được chia bằng các đường không giao nhau. Ông và Tiến sĩ Rubine gọi mảng số mới lạ này là "Geode". "Chúng tôi đã tìm thấy những mở rộng này và chỉ ra cách chúng, một cách logic, dẫn đến một giải pháp tổng quát cho các phương trình đa thức. Đây là một sự sửa đổi mạnh mẽ của một chương cơ bản trong đại số." Ngay cả phương trình bậc năm (quintics) giờ đây cũng đã có lời giải, ông nói.
Bên cạnh ý nghĩa lý thuyết, phương pháp này còn hứa hẹn ứng dụng thực tế trong việc tạo ra các chương trình máy tính có thể giải phương trình bằng cách sử dụng chuỗi đại số thay vì căn thức. "Đây là một tính toán cốt lõi cho phần lớn toán học ứng dụng, vì vậy đây là cơ hội để cải thiện các thuật toán trong một loạt các lĩnh vực."
Giáo sư Wildberger cho biết mảng số "Geode" mới này cũng chứa đựng tiềm năng to lớn cho nghiên cứu sâu hơn. "Chúng tôi kỳ vọng rằng việc nghiên cứu mảng Geode mới này sẽ đặt ra nhiều câu hỏi mới và khiến các nhà toán học tổ hợp bận rộn trong nhiều năm. Thực sự, có rất nhiều khả năng khác. Đây mới chỉ là sự khởi đầu."
Nghiên cứu này có tiêu đề "A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode" (Một giải pháp chuỗi siêu Catalan cho phương trình đa thức, và Geode) được công bố trên tạp chí The American Mathematical Monthly vào ngày 8 tháng 4 năm 2025.
Lời giải cho một thách thức hàng thế kỷ
Một trong những bài toán hóc búa nhất của đại số - làm thế nào để giải các phương trình đa thức bậc cao – có thể sắp có lời giải. Một khám phá đột phá từ một nhà toán học tại Đại học New South Wales (UNSW) Sydney, Úc, hứa hẹn sẽ mở ra một chương mới cho lĩnh vực này.
Phương trình đa thức, với biến số (như x) được nâng lên nhiều lũy thừa khác nhau (ví dụ: 1 + 4x – 3x² = 0), không chỉ là những bài tập trong sách giáo khoa. Chúng là công cụ thiết yếu trong vô số ứng dụng thực tế, từ dự đoán chuyển động của các hành tinh đến việc lập trình phần mềm.
Tuy nhiên, đối với các phương trình đa thức "bậc cao hơn", nơi x được nâng lên lũy thừa từ 5 trở lên (phương trình bậc năm, hay quintic, và cao hơn), các nhà toán học đã vật lộn trong nhiều thế kỷ để tìm ra một phương pháp giải tổng quát. Điều đó có thể sắp thay đổi nhờ vào bước tiến mới đầy thú vị này.
Giáo sư Danh dự Norman Wildberger của UNSW, cùng với nhà khoa học máy tính Tiến sĩ Dean Rubine, đã công bố một phương pháp tiếp cận mới sử dụng các chuỗi số độc đáo trong một bài báo khoa học gần đây. "Giải pháp của chúng tôi mở lại một cuốn sách tưởng chừng đã khép lại trong lịch sử toán học," Giáo sư Wildberger khẳng định.
Vấn đề nan giải của phương trình đa thức
Các lời giải cho phương trình đa thức bậc hai (phương trình bậc 2) đã tồn tại từ khoảng năm 1800 trước Công nguyên, nhờ vào "phương pháp hoàn thành bình phương" của người Babylon, sau này phát triển thành công thức nghiệm bậc hai quen thuộc với nhiều học sinh trung học. Phương pháp này, sử dụng căn bậc của các số gọi là "căn thức" (radicals), sau đó được mở rộng để giải các phương trình bậc ba và bậc bốn vào thế kỷ 16.
Tuy nhiên, vào năm 1832, nhà toán học người Pháp Évariste Galois đã chứng minh rằng tính đối xứng toán học đằng sau các phương pháp được sử dụng để giải các đa thức bậc thấp hơn trở nên bất khả thi đối với các đa thức bậc năm trở lên. Do đó, ông kết luận rằng không thể có một công thức tổng quát nào sử dụng căn thức để giải chúng. Kể từ đó, các giải pháp gần đúng cho phương trình đa thức bậc cao đã được phát triển và được sử dụng rộng rãi, nhưng theo Giáo sư Wildberger, chúng không thuộc về đại số thuần túy.
Từ chối căn thức, mở ra hướng đi mới
Vấn đề, theo Giáo sư Wildberger, nằm ở việc công thức cổ điển sử dụng căn bậc ba hoặc căn bậc bốn, tức là các căn thức. Các căn thức thường biểu thị các số vô tỷ - những số thập phân kéo dài vô tận mà không lặp lại và không thể viết dưới dạng phân số đơn giản (ví dụ, căn bậc ba của 7, 3√7 = 1.9129118…… kéo dài mãi mãi).
Giáo sư Wildberger cho rằng điều này có nghĩa là câu trả lời thực sự không bao giờ có thể được tính toán một cách hoàn chỉnh bởi "bạn sẽ cần một lượng công việc vô hạn và một ổ cứng lớn hơn cả vũ trụ." Vì vậy, khi chúng ta giả định căn bậc ba của 7 "tồn tại" trong một công thức, chúng ta đang giả định rằng số thập phân vô hạn, không bao giờ kết thúc này bằng cách nào đó là một đối tượng hoàn chỉnh. Đây là lý do tại sao, Giáo sư Wildberger nói, ông "không tin vào các số vô tỷ". Ông cho rằng số vô tỷ dựa trên một khái niệm không chính xác về vô hạn và dẫn đến các vấn đề logic trong toán học.
Sự từ chối căn thức này đã truyền cảm hứng cho những đóng góp nổi tiếng nhất của Giáo sư Wildberger cho toán học: lượng giác hữu tỷ và hình học hypebol phổ quát. Cả hai phương pháp này đều dựa trên các hàm toán học như bình phương, cộng hoặc nhân, thay vì các số vô tỷ, căn thức hoặc các hàm như sin và cosin.
Phương pháp mới của ông để giải đa thức cũng tránh các căn thức và số vô tỷ, thay vào đó dựa vào các mở rộng đặc biệt của đa thức được gọi là "chuỗi lũy thừa" (power series), có thể có vô số số hạng với các lũy thừa của x. Bằng cách cắt ngắn các chuỗi lũy thừa này, Giáo sư Wildberger cho biết, họ đã có thể trích xuất các câu trả lời số gần đúng để kiểm tra xem phương pháp có hoạt động hay không. "Một trong những phương trình chúng tôi đã thử nghiệm là một phương trình bậc ba nổi tiếng được Wallis sử dụng vào thế kỷ 17 để minh họa phương pháp của Newton. Giải pháp của chúng tôi hoạt động tuyệt vời," ông nói.
Hình học mới cho một giải pháp tổng quát: "Geode" và số Catalan mở rộng
Tuy nhiên, Giáo sư Wildberger cho biết bằng chứng cho phương pháp này cuối cùng lại dựa trên logic toán học. Phương pháp của ông sử dụng các chuỗi số mới lạ biểu thị các mối quan hệ hình học phức tạp. Những chuỗi này thuộc về toán học tổ hợp (combinatorics), một nhánh của toán học giải quyết các mẫu số trong các tập hợp phần tử.
Chuỗi tổ hợp nổi tiếng nhất, được gọi là số Catalan, mô tả số cách bạn có thể chia một đa giác (bất kỳ hình nào có ba cạnh trở lên) thành các tam giác. Các số này có các ứng dụng thực tế quan trọng, bao gồm trong các thuật toán máy tính, thiết kế cấu trúc dữ liệu và lý thuyết trò chơi. Chúng thậm chí còn xuất hiện trong sinh học, nơi chúng được sử dụng để giúp đếm các kiểu gấp có thể có của phân tử RNA. Và chúng có thể được tính toán bằng một đa thức bậc hai đơn giản.
"Số Catalan được hiểu là có mối liên hệ mật thiết với phương trình bậc hai. Sự đổi mới của chúng tôi nằm ở ý tưởng rằng nếu chúng ta muốn giải các phương trình bậc cao hơn, chúng ta nên tìm kiếm các dạng tương tự bậc cao hơn của số Catalan."
Công trình của Giáo sư Wildberger mở rộng các số Catalan này từ một mảng một chiều thành một mảng đa chiều dựa trên số cách một đa giác có thể được chia bằng các đường không giao nhau. Ông và Tiến sĩ Rubine gọi mảng số mới lạ này là "Geode". "Chúng tôi đã tìm thấy những mở rộng này và chỉ ra cách chúng, một cách logic, dẫn đến một giải pháp tổng quát cho các phương trình đa thức. Đây là một sự sửa đổi mạnh mẽ của một chương cơ bản trong đại số." Ngay cả phương trình bậc năm (quintics) giờ đây cũng đã có lời giải, ông nói.
Bên cạnh ý nghĩa lý thuyết, phương pháp này còn hứa hẹn ứng dụng thực tế trong việc tạo ra các chương trình máy tính có thể giải phương trình bằng cách sử dụng chuỗi đại số thay vì căn thức. "Đây là một tính toán cốt lõi cho phần lớn toán học ứng dụng, vì vậy đây là cơ hội để cải thiện các thuật toán trong một loạt các lĩnh vực."
Giáo sư Wildberger cho biết mảng số "Geode" mới này cũng chứa đựng tiềm năng to lớn cho nghiên cứu sâu hơn. "Chúng tôi kỳ vọng rằng việc nghiên cứu mảng Geode mới này sẽ đặt ra nhiều câu hỏi mới và khiến các nhà toán học tổ hợp bận rộn trong nhiều năm. Thực sự, có rất nhiều khả năng khác. Đây mới chỉ là sự khởi đầu."
Nghiên cứu này có tiêu đề "A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode" (Một giải pháp chuỗi siêu Catalan cho phương trình đa thức, và Geode) được công bố trên tạp chí The American Mathematical Monthly vào ngày 8 tháng 4 năm 2025.
