Hai nhà toán học hiện nay đã có những bước tiến mới trong một bài toán rất cũ chưa được giải quyết. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách nâng cao thông qua những đặc điểm như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được đánh giá bởi các đồng nghiệp), việc xem xét các đối tượng qua lăng kính hình học có thể giúp phát hiện ra những điểm thú vị mà các đối tượng này chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành này.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất có thể là bao nhiêu khi một đường thẳng, hay một cây kim, được quay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung nó giống như một cái con quay trong một trò chơi bàn hoặc một người trình diễn vặn baton, vì cây kim đó phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng sự thật lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howlett giải thích cho Quanta rằng nếu bạn kéo nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều. Điều này tạo ra những hình dạng như hình delta, một hình tam giác gần giống có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph mà bạn đã từng chơi. Hình delta có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một cây kim quay như một người vặn baton. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm ra hình delta nhỏ nhất có thể, dù hình dạng cuối cùng là gì, trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã được làm phức tạp hơn bởi một nhà toán học tiếp theo là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể với các điểm có thể được đưa lại gần nhau hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này, cũng như những câu hỏi khác tương tự, đều gây sự tò mò cho những người đã đắm mình trong các khái niệm tương tự, đã tạo nên một chuỗi domino dẫn đến sự ra đời của lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã bao giờ thấy một minh họa về chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều bị nhét vào một phiên bản ba chiều mà não bộ con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở ra và chưa được chứng minh ít nhất là 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc từ 100 năm trước, khi cả hai người đều ở trong giai đoạn đỉnh cao trong sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đụng đầu vào nhiều loại tập Kakeya trong nhiều loại không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này, Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC), là định hình lại vấn đề khó khăn bằng cách tư duy sáng tạo. Trong một thông cáo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những bước tiến gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều nhận thức mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể”. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về giao điểm của các ống mà vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ các vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó đến một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng cách sử dụng ký hiệu toán học thay vì, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... vâng... quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng hay hình dạng kim đơn giản. Chúng ta ai cũng biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó như một chiếc xoáy, vòng tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn đường thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ấn tượng”. Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người xử lý các phần nhỏ trong cùng một vấn đề, một quá trình mà một phần là điêu khắc và một phần là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều nơi nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thành.
Zahl tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là ông có thể đã sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “toán tiến” đối với hai nhà toán học này.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất có thể là bao nhiêu khi một đường thẳng, hay một cây kim, được quay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung nó giống như một cái con quay trong một trò chơi bàn hoặc một người trình diễn vặn baton, vì cây kim đó phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng sự thật lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howlett giải thích cho Quanta rằng nếu bạn kéo nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều. Điều này tạo ra những hình dạng như hình delta, một hình tam giác gần giống có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph mà bạn đã từng chơi. Hình delta có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một cây kim quay như một người vặn baton. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm ra hình delta nhỏ nhất có thể, dù hình dạng cuối cùng là gì, trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã được làm phức tạp hơn bởi một nhà toán học tiếp theo là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể với các điểm có thể được đưa lại gần nhau hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này, cũng như những câu hỏi khác tương tự, đều gây sự tò mò cho những người đã đắm mình trong các khái niệm tương tự, đã tạo nên một chuỗi domino dẫn đến sự ra đời của lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã bao giờ thấy một minh họa về chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều bị nhét vào một phiên bản ba chiều mà não bộ con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở ra và chưa được chứng minh ít nhất là 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc từ 100 năm trước, khi cả hai người đều ở trong giai đoạn đỉnh cao trong sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đụng đầu vào nhiều loại tập Kakeya trong nhiều loại không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này, Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC), là định hình lại vấn đề khó khăn bằng cách tư duy sáng tạo. Trong một thông cáo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những bước tiến gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều nhận thức mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể”. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về giao điểm của các ống mà vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ các vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó đến một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng cách sử dụng ký hiệu toán học thay vì, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... vâng... quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng hay hình dạng kim đơn giản. Chúng ta ai cũng biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó như một chiếc xoáy, vòng tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn đường thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ấn tượng”. Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người xử lý các phần nhỏ trong cùng một vấn đề, một quá trình mà một phần là điêu khắc và một phần là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều nơi nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thành.
Zahl tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là ông có thể đã sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “toán tiến” đối với hai nhà toán học này.
