Hai nhà toán học đã áp dụng một phương pháp hình học mới để giải quyết một bài toán rất cũ trong đại số. Trong trường học, chúng ta thường học cách nhân và phân tích các phương trình đa thức như (x² – 1) hay (x² + 2x + 1). Tuy nhiên, trong thực tế, những phương trình này có thể trở nên rất phức tạp. Trên thực tế, các nhà toán học thường chỉ ước lượng các nghiệm của những phương trình có bậc cao hơn một mức nhất định, được gọi là đa thức bậc cao. Trong bài báo này, các tác giả cho rằng họ có thể sử dụng một số đo trong hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao hơn.
Số Catalan là một kết quả tự nhiên của nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy qua các nỗ lực như phân tích tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính thiết kế các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách cho thấy có bao nhiêu cách sắp xếp cây khác nhau có thể được tạo ra trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng xác định số cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người dẫn dắt nghiên cứu này, nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia - một thuật ngữ có thể phản ánh việc ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau khi giảng dạy tại trường đại học này từ năm 1990. Wildberger còn tự nhận là một “kẻ dị giáo” về một số nền tảng toán học, được thể hiện phần nào qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực của toán học. Sự chốngđối đối với các số vô hạn hoặc vô tỷ chính là chìa khóa cho nghiên cứu này.
Trong nhiều năm, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là không thể giải một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào đó nằm dưới dấu căn (hay còn gọi là dấu căn bậc hai). Nhưng, theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào sự chia tách này và chú trọng vào dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên "tránh né" điều đó hoàn toàn. Để làm rõ lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính từng làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt việc tính toán tại một quỹ đầu tư mạo hiểm bí mật tập trung vào các thuật toán.
Bài báo này có chất lượng dạy học, đọc giống như một chương trong một cuốn sách giáo khoa hay. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, sau đó xây dựng lập luận từng bước vào một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là mảng ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn các điều kiện để giải đa thức. (Hãy nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không cần phải trùng với tất cả các ứng dụng khác của số Catalan - mà thực tế, các số Catalan là một cơ sở từ đó để bắt đầu xây dựng một tập hợp độc đáo nhằm giải quyết bài toán đa thức.)
Tất cả điều này được gói gọn trong một mảng gọi là Geode, bao trùm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan. Sau khi đi qua công việc dẫn đến mảng Geode, Wildberger đã đưa ra một nhận xét cuối cùng: Việc bài này được viết bởi một nhân vật nổi bật đã cao tuổi và một nhà điều hành định lượng lâu năm có thể khiến công việc này gặp khó khăn hơn trong việc được công nhận rộng rãi. Nó cũng được xuất bản trong tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi và liên kết với Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận nhà quảng cáo, cung cấp dịch vụ biên tập có thu phí, và cho phép các tác giả trả tiền để bài viết của họ được mở truy cập - thường là một khoản phí vài nghìn đô la hoặc hơn. (Tùy chọn sau thật không may là mô hình và chi phí tiêu chuẩn của việc xuất bản mở.)
Trong trường hợp này, sự tiếp cận không chính thống này có thể là kết quả của việc chủ đề này đơn giản là không còn nằm trong tầm ngắm của hầu hết mọi người nữa. Nhưng nó cũng hoàn toàn phù hợp với cuộc hành trình suốt đời của Wildberger nhằm cắt giảm các khái niệm phức tạp trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt. Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (từ vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng anh đã theo dõi sát sao công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đã thực hiện một loạt video để dạy những người nghiệp dư cách nghiên cứu toán học,” Rubine chia sẻ. “Đối với bài toán đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi nghĩ đó là một trò đùa, vì mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết bài báo, nên tôi đã viết một bản thảo và gửi cho ông ấy, điều này đã phát triển thành bài báo này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể trở thành một đối thủ xứng đáng cho chính khái niệm vô hạn. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Trong bài báo, ông và Rubine chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có tiếp nhận một số câu hỏi này hay không. Tôi, một người trong số đó, rất hy vọng vậy, vì 41 video nữa là một khoảng thời gian dài để chờ đợi một bước đột phá tiếp theo. (PopSci)
Số Catalan là một kết quả tự nhiên của nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy qua các nỗ lực như phân tích tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính thiết kế các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách cho thấy có bao nhiêu cách sắp xếp cây khác nhau có thể được tạo ra trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng xác định số cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người dẫn dắt nghiên cứu này, nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia - một thuật ngữ có thể phản ánh việc ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau khi giảng dạy tại trường đại học này từ năm 1990. Wildberger còn tự nhận là một “kẻ dị giáo” về một số nền tảng toán học, được thể hiện phần nào qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực của toán học. Sự chốngđối đối với các số vô hạn hoặc vô tỷ chính là chìa khóa cho nghiên cứu này.
Trong nhiều năm, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là không thể giải một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào đó nằm dưới dấu căn (hay còn gọi là dấu căn bậc hai). Nhưng, theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào sự chia tách này và chú trọng vào dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên "tránh né" điều đó hoàn toàn. Để làm rõ lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính từng làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt việc tính toán tại một quỹ đầu tư mạo hiểm bí mật tập trung vào các thuật toán.
Bài báo này có chất lượng dạy học, đọc giống như một chương trong một cuốn sách giáo khoa hay. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, sau đó xây dựng lập luận từng bước vào một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là mảng ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn các điều kiện để giải đa thức. (Hãy nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không cần phải trùng với tất cả các ứng dụng khác của số Catalan - mà thực tế, các số Catalan là một cơ sở từ đó để bắt đầu xây dựng một tập hợp độc đáo nhằm giải quyết bài toán đa thức.)
Tất cả điều này được gói gọn trong một mảng gọi là Geode, bao trùm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan. Sau khi đi qua công việc dẫn đến mảng Geode, Wildberger đã đưa ra một nhận xét cuối cùng: Việc bài này được viết bởi một nhân vật nổi bật đã cao tuổi và một nhà điều hành định lượng lâu năm có thể khiến công việc này gặp khó khăn hơn trong việc được công nhận rộng rãi. Nó cũng được xuất bản trong tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi và liên kết với Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận nhà quảng cáo, cung cấp dịch vụ biên tập có thu phí, và cho phép các tác giả trả tiền để bài viết của họ được mở truy cập - thường là một khoản phí vài nghìn đô la hoặc hơn. (Tùy chọn sau thật không may là mô hình và chi phí tiêu chuẩn của việc xuất bản mở.)
Trong trường hợp này, sự tiếp cận không chính thống này có thể là kết quả của việc chủ đề này đơn giản là không còn nằm trong tầm ngắm của hầu hết mọi người nữa. Nhưng nó cũng hoàn toàn phù hợp với cuộc hành trình suốt đời của Wildberger nhằm cắt giảm các khái niệm phức tạp trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt. Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (từ vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng anh đã theo dõi sát sao công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đã thực hiện một loạt video để dạy những người nghiệp dư cách nghiên cứu toán học,” Rubine chia sẻ. “Đối với bài toán đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi nghĩ đó là một trò đùa, vì mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết bài báo, nên tôi đã viết một bản thảo và gửi cho ông ấy, điều này đã phát triển thành bài báo này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể trở thành một đối thủ xứng đáng cho chính khái niệm vô hạn. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Trong bài báo, ông và Rubine chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có tiếp nhận một số câu hỏi này hay không. Tôi, một người trong số đó, rất hy vọng vậy, vì 41 video nữa là một khoảng thời gian dài để chờ đợi một bước đột phá tiếp theo. (PopSci)
